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高考數學備考:10種方法求函數值域

發布者:思學佳教育 時間:2017-12-20 16:15:02

一、反函數法:當函數的反函數存在時,則其反函數的定義域就是原函數的值域。

例1求函數y=(x+1)(x+2)的值域。

點撥:先求出原函數的反函數,再求出其定義域。

解:顯然函數y=(x+1)/(x+2)的反函數為:x=(1-2y(y-1),其定義域為y產1的實數,故函數y的值域為(yly#1,y=R}。

點評:深圳課外培訓利用反函數法求原函數的定義域的前提條件是原函數存在反函數。這種方法體現逆向思維的思想,是解題的重要方法之一。


二、配方法:當所給函數是二次函數或可化為二次函數的復合

函數時,可以利用配方法求函數值域

例2:求函數y=(-×2+x+2)的值域。

點撥:將被開方數配方成完全平方數,利用二次函數的最值求。

解:由-x2+x+2≥0,可知函數的定義域為xE[-1,2]。此時-×2+×+2=-(x-1/2)2+9/4=[0,9/4].0≤V-x2+x+2≤3/2,函數的值域是[0,3/2]

點評:求函數的值域不但要重視對應關系的應用,而且要特別注意定義域對值域的制約作用。配方法是數學的一種重要思想方法。

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三、判別式法:若可化為關于某變量的二次方程的分式函數或無理函數,可用判別式法求函數的值域。

例3求函數y=(2×2-2x+3)/(×2-x+1)的值域。

點撥:將原函數轉化為自變量的二次方程,應用二次方程根的判別式,從而確定出原函數的值域。

解:將上式化為(y-2)×2-(y-2)x+(y-3)=0(*)當y2時,由A=(y-2)2-4(y-2)x+(y-3)≥0,解得:2當y=2時,方程(*)無解。.函數的值域為2點評:把函數關系化為二次方程F(x,y)=0,由于方程有實數解,故其判別式為非負數,可求得函數的值域。常適應于形如y=(ax2+bx+c)/(dx2+ex+f)及y=ax+bt(cx2+dx+e)的函數。


四、最值法:對于閉區間[a,b]上的連續函數y=f(x),可求出y=f(x)在區間[a,b]內的極值,并與邊界值(a).f(b)作比較,求出函數的最值,可得到函數y的值域。例4已知(2x2-x-3)/(3×2+x+1)50,且滿足x+y=1,求函數z=xy+3x的值域。

點撥:根據已知條件求出自變量x的取值范圍,將目標函數消元、配方,可求出函數的值域。

解:“3×2+x+1>0,上述分式不等式與不等式2×2-x-350同解,解之得-1sx≤3/2,又x+y=1,將y=1x代入z=xy+3x中,得z=-×2+4x(-1sx≤3/2),.z=-(x-2)2+4且x=[-1,3/2],函數z在區間[-1,3/2]上連續,故只需比較邊界的大小。

當x=-1時,z=-5;當x=3/2時,z=15/4。.函數z的值域為{2|-5sz≤15/4}。

點評:本題是將函數的值域問題轉化為函數的最值。對開區間,若存在最值,也可通過求出最值而獲得函數的值域。


五、單調法:利用函數在給定的區間上的單調遞增或單調遞減求值域。

例5求函數y=4x-V1-3x(x≤1/3)的值域。

點撥:由已知的函數是復合函數,即g(x)=-V1-3x,y=f(x)+gx),

其定義域為x≤1/3,在此區間內分別討論函數的增減性,從而確定函數的值域。

解:設(x)=4x,g(x)=-V1-3x,(x≤1/3),易知它們在定義域內為增函數,從而y=f(x)+g(x)=4x-V1-3x在定義域為x≤1/3上也為增函數,而且ysf(1/3)+g(1/3)=4/3,因此,所求的函數值域為(yly≤4/3}。

點評:利用單調性求函數的值域,是在函數給定的區間上,或求出函數隱含的區間,結合函數的增減性,求出其函數在區間端點的函數值,進而可確定函數的值域。


六、換元法:以新變量代替函數式中的某些量,使函數轉化為以新變量為自變量的函數形式,進而求出值域。

例6求函數y=x-3+v2x+1的值域。

點撥:通過換元將原函數轉化為某個變量的二次函數,利用二次函數的最值,確定原函數的值域。

解:設t=V2x+1(te0),則x=1/2(t2-1)。

于是y=1/2(t2-1)-3+t=1/2(t+1)2-421/2-4=-7/2.

所以,原函數的值域為(ylye-7/2}。

點評:將無理函數或二次型的函數轉化為二次函數,通過求出二次函數的最值,從而確定出原函數的值域。這種解題的方法體現換元、化歸的思想方法。它的應用十分廣泛。


七、構造法:根據函數的結構特征,賦予幾何圖形,數形結合。

例7求函數y=Vx2+4x+5+V×2-4x+8的值域。

點撥:將原函數變形,構造平面圖形,由幾何知識,確定出函數的值域。

解:原函數變形為f(x)=(x+2)2+1+V(2-×)2+22作一個長為4、寬為3的矩形ABCD,再切割成12個單位正方形。設HK=x,則ek=2-x,KF=2+X,AK=(2-x)2+22,KC=v(x+2)2+1。

由三角形三邊關系知,AK+KC2AC=5。當A、K、C三點共線時取等號。.原函數的知域為(yly≥5}。

點評:對于形如函數y=v×2+a±(c-x)2+b(a,b,c均為正數),均可通過構造幾何圖形,由幾何的性質,直觀明了、方便簡捷。這是數形結合思想的體現。


八、比例法:對于一類含條件的函數的值域的求法,可將條件轉化為比例式,代入目標函數,進而求出原函數的值域。

例8已知X,y=R,且3x-4y-5=0,求函數z=x2+y2的值域。

點撥:將條件方程3x4y-5=0轉化為比例式,設置參數,代入原函數。

解:由3x-4y-5=0變形得,(x3)/4=(y-1)/3=k(k為參數)

x=3+4k,y=1+3k,

z=×2+y2=(3+4k)2+(14+3K)2=(5k+3)2+1。

當k=-3/5時,x=3/5,y=-4/5時,zmin=1。

函數的值域為{zlz≥1}.

點評:本題是多元函數關系,一般含有約束條件,將條件轉化

為比例式,通過設參數,可將原函數轉化為單函數的形式,這種解題方法體現諸多思想方法,具有一定的創新意識。


九、利用多項式的除法

例9求函數y=(3x+2)/(x+1)的值域。

點撥:將原分式函數,利用長除法轉化為一個整式與一個分式之和

解:y=(3x+2)/(x+1)=3-1(x+1)。

1/(x+1)*0,故y3。

函數y的值域為y3的一切實數。

點評:對于形如y=(ax+b)/(cx+d)形式的函數均可利用該方法。


十、不等式法

例10求函數Y=3x/(3x+1)的值域。

點撥:先求出原函數的反函數,根據自變量的取值范圍,構造不等式。

解:易求得原函數的反函數為y=l0g3[x/(1-x)],

由對數函數的定義知x/(1-x)>0

函數的值域(0,1)。

點評:考查函數自變量的取值范圍構造不等式(組)或構造重要

不等式,求出函數定義域,進而求值域。

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